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[原创]2012年《高考风向标》高考理科数学一轮复* 第十七章 第3讲 复数的概念 [配套课件]

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第 3 讲

复数的概念

1.复数 z1=x1+y1i(x1、y1∈R)与复数 z2=x2+y2i(x2、y2∈ x1=x2 且 y1=y2 R)相等的充要条件是_________________. y≠0 2.对于复数 z=x+yi(x、y∈R),当________时,是虚数; x=0,y≠0 y=0 _____________时,是纯虚数;________时,是实数. x-yi 3.复数 z=x+yi(x、y∈R)的共轭复数是 z =________,它们的
x2+y2 模|z|=| z |=_________.

1.(1-i)2·i=( C ) C. 2 A.2-2i B.2+2i D.-2 2.设集合 C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集 S=C,则下列结论正确的是( D ) B.?SA=B ? A.A∪B=C D B ?B C D.B∪?SB=C C A∩? B C.A∩?SB= ? 1 3.若复数 z 满足 z(1+i)=2,则 z 的实部是____. m(m-2) 4.已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i,若 z 对 m-1 应的点位于复*面的第二象限,则 m 的取值范围是 m<-3 或 1<m<2 ______________________. 1+i 1 5. 表示为 a+bi(a、b∈R),则 a+b=____. 1-i

考点 1 复数的概念 m(m+2) 例 1:已知 m∈R,复数 z= +(m2+2m-3)i,当 m m-1 为何值时: 1 (1)z∈R;(2)z 是虚数;(3)z 是纯虚数;(4)z=2+4i. 解题思路:关键是理解实数、虚数与纯虚数的定义. 解析:(1)m
?m2+2m-3=0 ? 须满足? ? ?m-1≠0

,解之得:m=-3.

(2)m 须满足 m2+2m-3≠0 且 m-1≠0,解之得:m≠1 且 m≠-3.

?m(m+2) ? =0 m-1 (3)m 须满足? ,解之得:m=0 或 m=-2. ?m2+2m-3≠0 ? ?m(m+2) 1 ? =2 m-1 ,解之得:m∈ . (4)m 须满足? ?m2+2m-3=4 ?
当虚部为 0 时则复数为实数;当虚部不为 0 时 则复数为虚数.

【互动探究】 1.在复*面上,正方形 ABCD 的两个顶点 A、B 对应的复 数分别为 1+2i,3-5i.求另外两个顶点 C、D 对应的复数. → 解:设 D(x,y),AB=(2,-7). → AD=x+yi-(1+2i)=x-1+(y-2)i=(x-1,y-2), → → AD⊥AB?(x-1)·2-7(y-2)=0, → |AD|=|AB|= 53? (x-1)2+(y-2)2= 53,
?x=-6 ? ∴? ?y=0 ? ?x=8 ? 或? ?y=4 ?



∴zD=-6 或 zD=8+4i,

uuu r uuu r 由 z BC = z AD =?zC-zB=zD-zA?zC=zD-zA+zB,
?zD=-6 ? ∴? ?zC=-4-7i ? ?zD=8+4i ? 或? ?zC=10-3i ?

.

考点 2 复数相等的应用
(1-i)2+3(1+i) 例 2:已知复数 z= ,若 z2+az+b=1-i, 2-i 求实数 a、b 的值. 解题思路:本题考查复数相等的概念及有关运算. -2i+3+3i 3+i 解析:z= = =1+i. 2-i 2-i 得(1+i)2+a(1+i)+b=1-i; 即 a+b+(2+a)i=1-i. 根据复数相等的定义,解得 a=-3,b=4.

两个复数相等是它们的实部和虚部分别相等.

1+7i 2.i 是虚数单位,若 =a+bi(a,b∈R),则乘积 ab 的 2-i 值是( B ) A.-15 B.-3 C.3 D.15

错源:容易混淆虚数与纯虚数的概念 例 3:若复数 z=(x2-1)+(x-1)i 为纯虚数,则实数 x 的值 为( ) A.-1 B.0 C.1 D.-1 或 1

误解分析:纯虚数的实部为 0,但虚部不能为 0.
?x2-1=0 ? 正解:由? ? ?x-1≠0

?x=-1,故选 A.

【互动探究】 3.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i 是纯虚数,则实数 a 的值为( B ) A.1 B.2 C.1 或 2 D.-1 例 4: 下列类比推理命题(其中 Q 为有理数集, 为实数集, R C 为复数集): ①“若 a、b∈R,则 a-b=0?a=b”类比推出“若 a、b ∈C,则 a-b=0?a=b”; ②“若 a、b、c、d∈R,则复数 a+bi=c+d i?a=c,b=d”类
比推出“若 a、b、c、d∈Q,则 a+b× 2=c+d× 2?a=c,b=d”;

③“若 a、 b∈R, a-b>0?a>b”类比推出“若 a、 则 b∈C, 则 a-b>0?a>b”. 其中类比结论正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3

解析:因为复数是不能比较大小的,故第 3 个命题是错误 的.故选 C. 此题需同学们深刻理解有理数、实数与复数之间 的区别与联系. 【互动探究】 4.投掷两颗骰子,得到其向上的点数分别为 m 和 n,则复 数(m+ni)(n-mi)为实数的概率为( C ) A. 1 3 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 12

解析:当(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,则 n2= m2,故 m=n 则可以取 1,2,…,6,共 6 种可能, 6 1 即 p= =6,故选 C. 6×6

在复*整个过程中,应注意理解和掌握复数的基本概念, 特别是虚数、纯虚数、共轭复数、两复数相等及复数的模等. 两个复数不全为实数时不能比较大小,只有相等和不相等的关 系.




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